Σούπα με φασόλια,λαχανικά και σάλτσα βασιλικού

Μουσκεύουμε τα φασόλια από το προηγούμενο βράδυ. Τα στραγγίζουμε, τα ανακατεύουμε με το κρεμμύδι και τα περιχύνουμε με κρύο νερό ώστε να τα σκεπάζει. Βράζουμε τα φασόλια μέχρι να μαλακώσουν. Στραγγίζουμε τα φασόλια, κρατάμε το ζωμό τους και πολτοποιούμε τα μισά στο μπλέντερ. Ανακατεύουμε τα πολτοποιημένα φασόλια με τα υπόλοιπα και προσθέτουμε το ζωμό λαχανικών, τα καρότα, το λάχανο, την πατάτα, τα φασολάκια, αλάτι,  πιπέρι και ζωμό από τα φασόλια. Τα αφήνουμε να συνεχίσουν το βράσιμο. Χτυπάμε στο γουδί το σκόρδο με τον βασιλικό και σταδιακά ρίχνουμε το λάδι. Προσθέτουμε την παρμεζάνα και ανακατεύουμε. Προσθέτουμε τη μισή σάλτσα πέστο στη σούπα και σερβίρουμε μία κουταλιά από την υπόλοιπη σε κάθε πιάτο σούπας.